双积

在范畴论中，双积是直积在预加法范畴中的推广，它同时是范畴论意义下的积与上积。

令 $\mathcal{C}$ 为预加法范畴，因而任两个对象 $A, B$ 间的态射集 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)$ 是交换群。给定有限个对象 $A_1, \ldots, A_n$ ，假设有：

对象 $A$ ，通常表作 $A_1 \oplus \cdots \oplus A_n$ 。
态射 $p_k : A \to A_k$ （称为射影）
态射 $i_k: A_k \to A$ （称为内射）

并假设：

$i_1 \circ p_1 + \ldots i_n \circ p_n = \mathrm{id}_A$
$p_k \circ i_k = \mathrm{id}_{A_k}$
$k \neq l \Rightarrow p_k \circ i_l = 0$

则称 $A$ 是 $A_1, \ldots, A_n$ 的双积。

注意到若在定义中取 $n=0$ ，则「空双积」是一个对象 $0$ ，使得恒等映射是零映射。

单词	Biproduct
释义	Biproduct 中文百科双积在范畴论中，双积是直积在预加法范畴中的推广，它同时是范畴论意义下的积与上积。令 $\mathcal{C}$ 为预加法范畴，因而任两个对象 $A, B$ 间的态射集 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)$ 是交换群。给定有限个对象 $A_1, \ldots, A_n$ ，假设有：对象 $A$ ，通常表作 $A_1 \oplus \cdots \oplus A_n$ 。态射 $p_k : A \to A_k$ （称为射影）态射 $i_k: A_k \to A$ （称为内射）并假设： $i_1 \circ p_1 + \ldots i_n \circ p_n = \mathrm{id}_A$ $p_k \circ i_k = \mathrm{id}_{A_k}$ $k \neq l \Rightarrow p_k \circ i_l = 0$ 则称 $A$ 是 $A_1, \ldots, A_n$ 的双积。注意到若在定义中取 $n=0$ ，则「空双积」是一个对象 $0$ ，使得恒等映射是零映射。英语百科 Biproduct 双积 In category theory and its applications to mathematics, a biproduct of a finite collection of objects in a category with zero object is both a product and a coproduct. In a preadditive category the notions of product and coproduct coincide for finite collections of objects. The biproduct is a generalization of finite direct sums of modules.
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