球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分。在量子力学等领域广泛应用。

球坐标下的拉普拉斯方程是:

利用分离变量法，设定 。其中代表角度部分的解，也就是球谐函数。

代入拉普拉斯方程，得到：

分离变量后得：

这里，是一个以为周期的函数，即满足周期性边界条件，因此必须为整数。而且可以解出：

而对于的方程，进行变量替换 ，，，得到关于的伴随勒让德方程。方程的解应满足在区间上取有限值，此时必须有，其中为自然数，且。对应方程的解为。即可以解出：

故球谐函数可以表达为：

其中N 是归一化因子。

经过归一化后，球谐函数表达为：

In mathematics, spherical harmonics are a series of special functions defined on the surface of a sphere used to solve some kinds of differential equations. As Fourier series are a series of functions used to represent functions on a circle, spherical harmonics are a series of functions that are used to represent functions defined on the surface of a sphere. Spherical harmonics are functions defined in terms of spherical coordinates and are organized by angular frequency, as seen in the rows of functions in the illustration on the right.