基 (线性代数) Basis (linear algebra)

（重定向自Basis of a vector space）

Tres segmentos orientados no colineales son una base del espacio tridimensional.

在线性代数中，基（也称为基底）是描述、刻画矢量空间的基本工具。矢量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基矢量。矢量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基矢量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称矢量空间为有限维矢量空间，将元素的个数称作矢量空间的维数。

使用基底可以便利地描述矢量空间。比如说，考察从一个矢量空间 $\mathrm{V}$ 射出的线性变换 $f$ ，可以查看这个变换作用在矢量空间的一组基 $\mathfrak{B}$ 上的效果。掌握了 $f( \mathfrak{B} )$ ，就等于掌握了 $f$ 对 $\mathrm{V}$ 中任意元素的效果。

不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。如果承认选择公理，那幺可以证明任何矢量空间都拥有一组基。一个矢量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）是相等的。一组基里面的任意一部分矢量都是线性无关的；反之，如果矢量空间拥有一组基，那幺在矢量空间中取一组线性无关的矢量，一定能将它扩充为一组基。在内积矢量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。

单词	Basis of a vector space
释义	Basis of a vector space 中文百科基 (线性代数) Basis (linear algebra) （重定向自Basis of a vector space）在线性代数中，基（也称为基底）是描述、刻画矢量空间的基本工具。矢量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基矢量。矢量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基矢量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称矢量空间为有限维矢量空间，将元素的个数称作矢量空间的维数。使用基底可以便利地描述矢量空间。比如说，考察从一个矢量空间 $\mathrm{V}$ 射出的线性变换 $f$ ，可以查看这个变换作用在矢量空间的一组基 $\mathfrak{B}$ 上的效果。掌握了 $f( \mathfrak{B} )$ ，就等于掌握了 $f$ 对 $\mathrm{V}$ 中任意元素的效果。不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。如果承认选择公理，那幺可以证明任何矢量空间都拥有一组基。一个矢量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）是相等的。一组基里面的任意一部分矢量都是线性无关的；反之，如果矢量空间拥有一组基，那幺在矢量空间中取一组线性无关的矢量，一定能将它扩充为一组基。在内积矢量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。英语百科 Basis (linear algebra) 基 (线性代数) （重定向自Basis of a vector space） A set of vectors in a vector space V is called a basis, or a set of basis vectors, if the vectors are linearly independent and every vector in the vector space is a linear combination of this set. In more general terms, a basis is a linearly independent spanning set.
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